1課題概覽
15
累計題量
(2012–2025)
9/14
出題年份覆蓋率
5.93
平均難度
(1–6 量表)
100.0%
圖形題比例
9
近 5 年出題數
課題定義
本課題屬 度量、圖形與空間 (MSS) 範疇，考核 Locus and Equation of Circle 相關知識與技巧。DSE 試卷中出現於 Paper 1 必修部分，考生需掌握核心公式與典型題型的解法策略。
高難度警示：本課題平均難度 5.93，屬偏難範疇。考生需投入較多時間練習。
2課程位置與先修知識
官方課程綱要對應
| 範疇 | 學習單元 | 主題定位 |
|---|---|---|
| 度量、圖形與空間 (MSS) | Locus and Equation of Circle | 本課題屬 度量、圖形與空間 範疇，考核 軌跡與圓方程 的核心技巧與應用。考試中以長題目（Section B）為主。 |
先修知識鏈
- 中三：基礎幾何
- 中四：三角函數
- 中五：坐標幾何
3歷年出題頻率分析
14 年出題分佈
| 年份ℹ️ | 題數ℹ️ | 難度分佈ℹ️ | 圖形題ℹ️ | 平均難度ℹ️ |
|---|---|---|---|---|
| 2025 | 1 | 5:1 | 1/1 | 5.0 |
| 2024 | 2 | 5:1, 6:1 | 2/2 | 5.5 |
| 2023 | 2 | 5:1, 7:1 | 2/2 | 6.0 |
| 2022 | 2 | 5:1, 7:1 | 2/2 | 6.0 |
| 2021 | 2 | 5:1, 7:1 | 2/2 | 6.0 |
| 2020 | 1 | 6:1 | 1/1 | 6.0 |
| 2019 | 2 | 6:1, 7:1 | 2/2 | 6.5 |
| 2018 | 1 | 7:1 | 1/1 | 7.0 |
| 2017 | — | — | — | — |
| 2016 | — | — | — | — |
| 2015 | — | — | — | — |
| 2014 | — | — | — | — |
| 2013 | — | — | — | — |
| 2012 | 2 | 5:1, 6:1 | 2/2 | 5.5 |
歷年題量走勢
難度分佈直方圖
4題型分類
主流題型
性質應用型
直接套用幾何/三角性質
~45%
計算型（長度/面積/體積）
計算幾何量
~35%
坐標型
用坐標幾何解決問題
~20%
5歷年題目庫（15）
下方按年份倒序列出歷年題目梗概。由於 DSE 試題受版權保護，本頁不再展示原題與選項，但保留年份、題號、Section、難度、類型、評核局意見及解題策略以供溫習參考。
2025 · Q0013
Section B
難度 5
含圖示
評核局意見：Γ是MN的垂直平分線，Γ的斜率為3/2，MN斜率=-2/3。MN中點在Γ上，用垂直條件求a和b，再求L的方程和面積。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2024 · Q0012
Section B
難度 5
含圖示
評核局意見：由兩點求斜率，用垂直條件求P；對於圓，用一般式或求外接圓圓心。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2024 · Q0017
Section B
難度 6
含圖示
評核局意見：求兩點的垂直平分線作為軌跡Γ，找Γ與C的交點，再求A、B及圓心的外接圓。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2023 · Q0010
Section B
難度 5
含圖示
評核局意見：(a) $\Gamma$ 是 $AB$ 的垂直平分線。(b)(i) $AB$ 垂直於 $\Gamma$，斜率為 $\Gamma$ 斜率的負倒數；過 $A$ 點。(b)(ii) 圓心為 $AB$ 中點，在 $\Gamma$ 和 $AB$ 的交點求得。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2023 · Q0019
Section B
難度 7
含圖示
評核局意見：(a) 利用外心是各邊垂直平分線的交點、垂心是各高的交點求坐標。(b)(i) 計算 $\tan\angle PQS$ 並令其等於 $\tan\angle POQ$。(ii) 驗證三點共線。(iii) 利用外心、垂心、内心的坐標計算面積比。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2022 · Q0012
Section B
難度 5
含圖示
評核局意見：(a) 配方求圓心。(b)(i) $GH$ 是半徑。(ii) 利用相似三角形或直接計算求周長。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2022 · Q0019
Section B
難度 7
含圖示
評核局意見：(a) 由兩點求直線方程。(b) 切線弦 $PQ$ 垂直於 $AG$，利用中點關係求 $T$。(c) 以 $T$ 為圓心，$TP$ 為半徑建立圓方程。(d) 兩三角形共底 $PQ$，高之比即面積比。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2021 · Q0013
Section B
難度 5
含圖示
評核局意見：本題涉及圓的坐標幾何。圓 $C$ 的方程為 $x^2 + y^2 - 12x - 16y - 69 = 0$。求圓心和半徑，判斷原點 O 是否在 C 內，求軌跡 $\Gamma$（OG 的垂直平分線），找出與 C 的交點，計算四邊形 OMGN 的面積。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2021 · Q0019
Section B
難度 7
含圖示
評核局意見：這是一道關於二次函數和坐標幾何的複雜題目。已知 $f(x) = x^2 - 12kx - 14x + 36k^2 + 89k + 53$，拋物線 $y = f(x+k)$ 和 $y = f(x-k)$ 的頂點分別為 $Q$ 和 $R$。求 $Q$ 和 $R$ 的坐標，確定內切圓條件，並探討 $STU…
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2020 · Q0014
Section B
難度 6
含圖示
評核局意見：點 $A(-10,0)$ 及 $B(30,0)$。圓 $C$ 過 $A$ 及 $B$，圓心 $G$ 的 $y$ 坐標為 $-15$。(a)求 $C$ 的方程。(b)直線 $L$ 過 $B$ 及 $G$；另一直線 $\ell$ 平行於 $L$。動點 $P$ 的軌跡 $\Gamma$ 使由 $P$ 至 …
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2019 · Q0017
Section B
難度 6
含圖示
評核局意見：軌跡與坐標幾何題目。(a) 對三角形CDE的內切圓，證明 pr = 2a，其中 p 為周長，r 為內切圓半徑，a 為面積。(b)(i) 幾何上識別軌跡 Gamma 為角OHK的角平分線。(b)(ii) 利用三角形OHK的內切圓求 Gamma 的方程。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2019 · Q0019
Section B
難度 7
含圖示
評核局意見：二次函數與圓形幾何綜合題目。F = (4, 33) 為定點，f(x) = (x^2 + (6k-2)x + (9k+25))/(1+k)。(a) 證明圖像經過F。(b)(i) 用配方法求 g(x) = f(-x)+4，表示頂點U的坐標。(b)(ii) 求使通過F、O、U的圓面積最小的k值。(b)(i…
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2018 · Q0019
Section B
難度 7
含圖示
評核局意見：圓 C 圓心 (8,2)，半徑 r。切線 L：kx-5y-21=0。(a) C 的方程：(x-8)²+(y-2)²=r²。將直線代入圓方程，利用判別式=0（切線條件）：r² = (64k²-496k+961)/(k²+25)。(b)(i) L 通過 D(18,39)：18k-5(39)-21=0 →…
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2012 · Q0014
Section B
難度 6
含圖示
評核局意見：本題結合軌跡和圓的幾何。(a)部分描述軌跡Γ與直線L的幾何關係（Γ平行L並位於L下方1個單位）。(b)部分涉及圓C，驗證Q是否在Γ上，再求三角形面積之比。是高難度坐標幾何題。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
2012 · Q0017
Section B
難度 5
含圖示
評核局意見：本題考查圓的方程和坐標幾何。(a)部分已知圓心(6,10)且x軸為切線（半徑=10），求圓C的方程。(b)部分將直線L（y = -x + k）代入圓方程，利用韋達定理求根之和，進而以k表示中點坐標。
解題策略：請參考第 7 節「解題策略」中的 SOP，並逐步按題型對應策略練習。
6歷年考生常見錯誤
高頻錯誤（基於評核局報告與題目分析）
- 相似三角形比例設置方向錯誤
- 圓心角與圓周角混淆
- 三維三角學中仰角/俯角方向錯誤
- 體積公式套用錯誤（混淆相似比）
- 坐標幾何中斜率符號計算錯誤
7解題策略
標準操作流程
- 圓的性質：先找圓心角/圓周角關係
- 三維三角學：先畫清楚立體圖形，標注已知量
- 坐標幾何：先求斜率，再用點斜式
- 相似三角形：先確認相似條件（AA/SSS/SAS）
- 體積：分解複雜立體為基本形狀
82027+ 預測與備考建議
未來考勢預測
本課題屬 中頻 考題（9/14 年出題）。預計 2027 年有約 50% 機率出題，建議掌握核心解法。
近年出題趨勢斜率：↗ +0.12
本課題在過去 14 屆共出 15 題，平均難度 5.93，屬 中頻 課題。建議至少完成所有歷年題目練習，並針對最常見錯誤點重點突破。