U10 直角坐標簡介 必考公式
直角坐標系（又稱笛卡兒坐標系）是將平面上的點與一對有序實數 $(x, y)$ 聯繫起來的系統，是解析幾何的基礎。掌握坐標、距離、中點及斜率等概念，對解決 DSE 數學科的幾何問題至關重要。
1 坐標、距離與中點
兩點距離公式
對於平面上的兩點 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，它們之間的距離 $AB$ 由畢氏定理得出。
$$ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$
中點公式
連接 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 的線段之中點 $M$ 的坐標，為兩端點坐標的算術平均數。
$$ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $$
2 斜率與直線方程
斜率公式
通過兩點 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 的直線，其斜率 $m$ 定義為垂直變化與水平變化之比，其中 $x_1 \neq x_2$。
$$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
特殊情況：水平線的斜率為 $0$；垂直線的斜率為未定義（或稱無限大）。
點斜式
已知直線上一點 $(x_1, y_1)$ 及其斜率 $m$，可直接寫出直線方程。
$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$
斜截式
當已知直線的斜率 $m$ 和其在 $y$ 軸上的截距 $c$ 時，方程可寫成此形式，其中 $c$ 是當 $x=0$ 時的 $y$ 值。
$$ y = mx + c $$
兩點式
直接由兩點 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 求直線方程，其中 $x_1 \neq x_2$。
$$ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$
3 平行與垂直條件
平行線
若兩條直線 $L_1$ 和 $L_2$ 互相平行，則它們的斜率相等。
$$ m_1 = m_2 $$
垂直線
若兩條直線 $L_1$ 和 $L_2$ 互相垂直，則它們的斜率互為負倒數。此條件亦等價於 $m_1 m_2 = -1$。
$$ m_1 \times m_2 = -1 $$
注意：若其中一條直線是垂直線（斜率未定義），則與之垂直的直線必為水平線（斜率為 $0$），此情況需特別處理。