U12 指數定律 (I) 必考公式
指數定律是處理冪運算的基礎規則，適用於底數為非零實數且指數為整數的情況。熟練掌握這些定律是化簡代數式及解指數方程的關鍵。
1 基本定義與約定
指數記法與定義
設 $a$ 為實數，$n$ 為正整數。$a^n$ 表示 $n$ 個 $a$ 相乘，即 $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{個}}$。其中 $a$ 稱為底數，$n$ 稱為指數或冪。
特別地，對於任何非零實數 $a$，我們定義 $a^0 = 1$。對於負整數指數，定義 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$，其中 $a \neq 0$。
$$ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$
$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbb{Z}^+) $$
2 核心指數定律
定律一：同底數相乘
當兩個同底數的冪相乘時，指數相加。此定律適用於所有整數指數 $m$ 和 $n$，且底數 $a \neq 0$。
$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$
定律二：同底數相除
當兩個同底數的冪相除時，指數相減。此定律適用於所有整數指數 $m$ 和 $n$，且底數 $a \neq 0$。
$$ a^m \div a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
定律三：冪的冪
計算一個冪的冪時，指數相乘。此定律適用於所有整數指數 $m$ 和 $n$，且底數 $a \neq 0$。
$$ (a^m)^n = a^{m \times n} = a^{mn} $$
定律四：積的冪
一個乘積的冪，等於各因數分別取該冪後再相乘。此定律適用於整數指數 $n$。
$$ (ab)^n = a^n b^n $$
定律五：商的冪
一個商的冪，等於分子和分母分別取該冪後再相除。此定律適用於整數指數 $n$，且分母 $b \neq 0$。
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad (b \neq 0) $$
3 綜合應用與化簡技巧
化簡要訣
化簡涉及指數的代數式時，應遵循以下步驟：
- 先處理括號內的運算，並運用 $(ab)^n = a^n b^n$ 或 $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ 將冪分配到每個因數。
- 將所有項化為以最簡形式表示的 同底數冪。例如，將 $4^x$ 寫成 $(2^2)^x = 2^{2x}$，或將 $\frac{1}{8^y}$ 寫成 $8^{-y} = (2^3)^{-y} = 2^{-3y}$。
- 運用 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ 及 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ 進行合併或化簡。
- 最後，檢查結果中的指數是否已化為最簡形式，並確保底數不為 $0$。
例題： 化簡 $\frac{(2x^2 y)^3 \times (3x^{-1})^2}{6x^4 y^2}$。
$$ \begin{aligned} \frac{(2x^2 y)^3 \times (3x^{-1})^2}{6x^4 y^2} &= \frac{2^3 x^{6} y^3 \times 3^2 x^{-2}}{6x^4 y^2} \\ &= \frac{8 \times 9 \times x^{6-2} y^3}{6 x^4 y^2} \\ &= \frac{72 x^{4} y^3}{6 x^4 y^2} \\ &= 12 y \end{aligned} $$