U13 恆等式與因式分解必考公式

恆等式是對所有變數值都成立的等式，是代數運算與化簡的基石。因式分解則是將多項式拆解為較簡單因式乘積的過程，兩者緊密相連，是解方程、化簡代數分式及處理複雜代數問題的核心技巧。

1 基本恆等式

這組恆等式描述了兩項和與差的平方展開，以及平方差公式。記住它們能快速展開或分解二次多項式。

$$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

$$ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $$

立方和與立方差公式是高階多項式因式分解的關鍵，需熟記其展開式及因式分解形式。

$$ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$

$$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$

$$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $$

$$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $$

最基本的方法。找出所有項的公共因子（可以是數字、變數或整個多項式）並提取出來。例如：$6x^2y + 9xy^2 = 3xy(2x + 3y)$。

適用於四項或以上的多項式。將項分組，使每組能提取公因式，然後再提取整體的公因式。例如：$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$。

對於二次三項式 $ax^2 + bx + c$，尋找兩個數 $p$ 和 $q$，滿足 $p \times q = a \times c$ 且 $p + q = b$，然後進行分組分解。這是解二次方程的基礎。

$$ ax^2 + bx + c \quad \Rightarrow \quad \text{找 } p, q \text{ 使 } pq = ac, \; p+q = b $$

證明一個等式是恆等式，通常從較複雜的一邊開始，利用已知恆等式或代數運算，化簡至與另一邊完全相同。常用方法包括：展開、合併同類項、因式分解。

已知某些代數式的值（如 $a+b$ 和 $ab$），利用恆等式求其他式子的值（如 $a^2+b^2$, $a^3+b^3$）。關鍵是將目標式子用已知條件表示。

$$ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab $$ $$ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) $$

當分母含有根式（如 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$）時，利用平方差公式 $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ 來消去根號，使分母有理化。

例如：$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$。

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