U14 聯立二元一次方程 必考公式
聯立二元一次方程是 DSE 數學科基礎課題，涉及求解兩個未知數 $x$ 和 $y$ 的值，使其同時滿足兩個一次方程。本課題涵蓋代入消元法、加減消元法及圖解法，是解決應用題的關鍵工具。
1 聯立方程的一般形式與解
一般形式
一組聯立二元一次方程通常寫成以下形式，其中 $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$ 為已知常數，且 $a_1$ 與 $b_1$ 不同時為零，$a_2$ 與 $b_2$ 也不同時為零。
方程組的「解」是一組有序數對 $(x, y)$，能同時滿足兩個方程。在坐標平面上，每個方程代表一條直線，而解就是這兩條直線的交點坐標。
2 代入消元法
方法步驟
從其中一個方程，將一個未知數（例如 $x$）用另一個未知數（$y$）表示，然後將此表達式代入另一個方程，從而消去 $x$，得到一個只含 $y$ 的一元一次方程。解出 $y$ 後，再代回求 $x$。
例如，解方程組： $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \quad \text{(1)} \\ 3x + y = 10 \quad \text{(2)} \end{cases} $$ 由 (1) 得 $x = 1 + 2y$。將此式代入 (2)：$3(1 + 2y) + y = 10$，解得 $y = 1$。再代回 $x = 1 + 2(1) = 3$。所以解為 $(3, 1)$。
3 加減消元法
方法步驟
將兩個方程乘以適當的倍數，使其中一個未知數的係數在兩個方程中相等或互為相反數，然後將兩式相加或相減，從而消去該未知數。
沿用上例： $$ \begin{cases} x - 2y = 1 \quad \text{(1)} \\ 3x + y = 10 \quad \text{(2)} \end{cases} $$ 為消去 $y$，將 (2) 乘以 2：$6x + 2y = 20$ $\quad \text{(3)}$。然後將 (1) 與 (3) 相加：$(x - 2y) + (6x + 2y) = 1 + 20$，得 $7x = 21$，所以 $x = 3$。將 $x=3$ 代入 (1) 得 $y=1$。
4 解的幾何意義與情況
三種可能情況
從圖像（直線）的角度看，聯立方程的解有三種情況：
唯一解
兩線相交於一點。
$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
無限多解
兩線重合。
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
無解
兩線平行。
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
判斷解的性質時，比較係數之比是關鍵技巧。當 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ 時，兩線平行或重合；若不相等，則有唯一交點。
5 應用題解題框架
四步解題法
解決涉及兩個未知數的文字應用題：
- 設未知數：清楚定義 $x$ 和 $y$ 代表什麼。
- 列方程：根據題目條件，建立兩個關於 $x$ 和 $y$ 的方程。
- 解方程：運用代入法或加減法求解。
- 寫答案：將解以題目要求的格式（例如「小明有...，小美有...」）寫出，並檢查合理性。
例如：「兩數之和為 10，差為 4，求兩數。」設兩數為 $x$ 和 $y$，則得 $\begin{cases} x+y=10 \\ x-y=4 \end{cases}$，相加得 $2x=14$，$x=7$，$y=3$。