U15 多邊形的角 必考公式
理解多邊形的內角、外角及對角線的性質是解決幾何問題的基礎。本課題涵蓋凸多邊形與凹多邊形，並提供計算內角和、外角和及對角線數目的核心公式。
1 多邊形內角和
凸多邊形內角和公式
對於任何 $n$ 邊形（$n \ge 3$），其所有內角的總和（內角和）是固定的。此公式適用於所有凸多邊形。
例如，一個五邊形（$n=5$）的內角和為 $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$。若多邊形是正多邊形，則每個內角大小相等，每個內角 $= \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$。
2 多邊形外角和
凸多邊形外角和定理
對於任何凸多邊形，無論邊數 $n$ 是多少，其所有外角的總和（外角和）恆為一個常數。外角是指由多邊形的一邊及其鄰邊的延長線所成的角。
因此，正 $n$ 邊形的每個外角大小為 $\frac{360^\circ}{n}$。內角與其相鄰外角互為鄰補角，即 $內角 + 外角 = 180^\circ$。
3 多邊形對角線
對角線數目公式
多邊形的對角線是指連接兩個不相鄰頂點的線段。計算對角線總數時，需考慮從每個頂點出發可畫出的對角線，並避免重複計算。
推導：每個頂點可以畫出 $n-3$ 條對角線（不能連自己及兩個相鄰頂點）。$n$ 個頂點共 $n(n-3)$ 條，但每條對角線被計算了兩次（從兩個端點各算一次），因此總數為 $\frac{n(n-3)}{2}$。三角形（$n=3$）的對角線數為 $0$。
4 綜合應用與例題
已知內角和求邊數
若已知一個凸多邊形的內角和，我們可以反推出它的邊數 $n$。這是常見的 DSE 題型。
設內角和為 $S$，則有：
移項可得 $n = \frac{S}{180^\circ} + 2$。注意 $n$ 必須是整數且 $n \ge 3$。
例題
一個正多邊形的每個內角為 $156^\circ$，求它的邊數。
解法：每個外角 $= 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$。因為外角和為 $360^\circ$，所以邊數 $n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$。這是一個十五邊形。
關鍵：熟練運用內角與外角的關係 $內角 + 外角 = 180^\circ$，以及外角和恆等於 $360^\circ$，是快速解題的秘訣。