U16 畢氏定理 必考公式

定理陳述

對於任何一個直角三角形，設其兩條直角邊的長度分別為 $a$ 和 $b$，斜邊（最長邊）的長度為 $c$，則它們的關係為：

此公式可用於求取直角三角形中任何一邊的長度。例如，已知 $a$ 和 $b$，求 $c$ 的公式為 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$；已知 $c$ 和 $a$，求 $b$ 的公式為 $b = \sqrt{c^2 - a^2}$。

平面圖形中的應用

畢氏定理常用於計算平面圖形中的長度，例如：

• 求對角線長度：在長方形中，對角線將長方形分成兩個全等的直角三角形。若長方形的長為 $l$，闊為 $w$，則對角線長度 $d = \sqrt{l^2 + w^2}$。
• 求等腰三角形的高：在等腰三角形中，由頂點到底邊的垂線（高）將底邊平分。若腰長為 $s$，底邊的一半為 $b$，則高 $h = \sqrt{s^2 - b^2}$。
• 坐標幾何中的兩點距離：在坐標平面上，兩點 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 之間的距離公式 $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ 正是由畢氏定理推導而來。

立體圖形中的應用

在立體圖形中，經常需要連續使用兩次畢氏定理來求空間中的最短路徑（例如長方體中的空間對角線）。

設一個長方體的長、闊、高分別為 $l$、$w$、$h$。其空間對角線長度 $D$ 的求法如下：

1. 先求底面對角線長度：$d_{base} = \sqrt{l^2 + w^2}$。
2. 空間對角線 $D$、底面對角線 $d_{base}$ 和高 $h$ 構成一個直角三角形，因此：

這是 DSE 立體圖形題目中非常常見的考點。

畢氏定理的逆定理

逆定理用於判斷一個三角形是否為直角三角形：如果一個三角形的三邊長 $a$、$b$、$c$（其中 $c$ 為最長邊）滿足 $a^2 + b^2 = c^2$，那麼這個三角形是一個直角三角形，且 $c$ 所對的角是直角。

例如，邊長為 $3$、$4$、$5$ 的三角形滿足 $3^2 + 4^2 = 5^2$，因此它是一個直角三角形。

常見的畢氏三元數

畢氏三元數（Pythagorean Triple）是指能構成直角三角形三邊長的三個正整數 $(a, b, c)$。熟記以下常見組合能幫助快速解題：

在考試中，若題目給出的邊長是這些數字的倍數，應立即聯想到使用畢氏定理。

解題步驟與常見錯誤

1. 識別直角三角形：首先確認題目中是否包含或隱含了直角三角形（例如有直角符號、等腰三角形的高、長方體的對角線等）。
2. 正確標記邊長：明確區分哪條是斜邊 $c$（直角對面，最長邊），哪兩條是直角邊 $a$ 和 $b$。
3. 代入公式：根據所求的邊，選擇合適的公式形式：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$ 或 $a = \sqrt{c^2 - b^2}$。
4. 化簡答案：DSE 題目通常要求答案以根號（surd form）或準確值表示，除非題目特別註明要求小數近似值。

⚠️ 常見錯誤：

• 誤將非最長邊當作斜邊 $c$ 代入公式 $a^2 + b^2 = c^2$。
• 在立體圖形問題中，忘記需要連續使用兩次畢氏定理。
• 計算時忘記取平方根，錯誤地寫成 $c = a^2 + b^2$。