U17 三角比 (I) 必考公式
本課題介紹直角三角形中銳角的三角比定義，包括正弦 ($\sin$)、餘弦 ($\cos$) 和正切 ($\tan$)。這是整個三角學的基礎，必須熟練掌握定義及相關計算。
1 直角三角形三角比定義
定義
對於一個直角三角形，設 $\theta$ 為其中一個銳角，其對邊、鄰邊及斜邊的長度分別為 $a$、$b$ 和 $c$。則 $\theta$ 的三個基本三角比定義如下：
記住口訣：「對斜是正弦，鄰斜是餘弦，對鄰是正切」。這三個比值只與角 $\theta$ 的大小有關，與三角形的大小無關。
2 三角比之間的關係
商數關係
正切 ($\tan$) 可以表示為正弦 ($\sin$) 與餘弦 ($\cos$) 的商。這是三角學中一個非常重要的恆等式。
此關係可直接由定義推導：$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b} = \tan \theta$。
平方關係 (畢氏定理的應用)
根據畢氏定理 $a^2 + b^2 = c^2$，我們可以推導出 $\sin \theta$ 與 $\cos \theta$ 之間最重要的恆等式。
證明：$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = (\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$。
3 特殊角的三角比
30°, 45°, 60° 的三角比值
這三個特殊角的三角比值必須牢記，它們經常在考試中直接使用或作為計算的基礎。
| 角度 $\theta$ | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
記憶技巧：正弦值 ($\sin$) 從 $30^\circ$ 到 $60^\circ$ 是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$，而餘弦值 ($\cos$) 則順序相反。
4 已知三角比求邊長或角度
應用公式解題
當已知一個銳角 $\theta$ 和其中一條邊的長度時，可以利用三角比公式求出其他未知邊的長度。反之，若已知兩條邊的比值，亦可求出角 $\theta$ 的大小。
例題：在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$\angle A = \theta$，已知 $AB = 10$ 及 $\sin \theta = 0.6$，求 $BC$ 的長度。
解：根據定義，$\sin \theta = \frac{BC}{AB}$。代入已知數值得 $0.6 = \frac{BC}{10}$。因此，$BC = 10 \times 0.6 = 6$。
解題關鍵是正確識別角的對邊、鄰邊和斜邊，然後代入相應的三角比公式建立方程。