U18 全等與相似三角形 必考公式

全等條件

若兩個三角形的對應邊及對應角完全相等，則它們全等，記作 $\triangle ABC \cong \triangle XYZ$。常用的判定條件有：

1. SSS（三邊相等）：若 $AB = XY$，$BC = YZ$，$CA = ZX$，則兩三角形全等。
2. SAS（兩邊夾角相等）：若 $AB = XY$，$\angle B = \angle Y$，$BC = YZ$，則兩三角形全等。
3. ASA（兩角夾邊相等）：若 $\angle A = \angle X$，$AB = XY$，$\angle B = \angle Y$，則兩三角形全等。
4. AAS（兩角及非夾邊相等）：若 $\angle A = \angle X$，$\angle B = \angle Y$，$BC = YZ$，則兩三角形全等。
5. RHS（直角、斜邊、一邊相等）：只適用於直角三角形。若 $\angle C = \angle Z = 90^\circ$，$AB = XY$（斜邊），$BC = YZ$，則兩三角形全等。

相似條件與性質

若兩個三角形的對應角相等，對應邊成比例，則它們相似，記作 $\triangle ABC \sim \triangle XYZ$。常用的判定條件有：

1. AAA（三角相等）：若 $\angle A = \angle X$，$\angle B = \angle Y$，$\angle C = \angle Z$，則兩三角形相似。
2. 三邊成比例：若 $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{CA}{ZX}$，則兩三角形相似。
3. 兩邊成比例且夾角相等：若 $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$ 且 $\angle B = \angle Y$，則兩三角形相似。
4. 對應邊比例關係：若相似比為 $k$，則對應邊長比例為 $k$，對應高、中線、周長的比例也是 $k$。
5. 面積比例關係：面積比例為相似比的平方 $k^2$。

解題策略

1. 尋找平行線：若圖形中有平行線，常出現同位角或內錯角相等，從而構成相似三角形。
2. 共用角：兩個三角形共用一個角，若再有另一組角相等，則可用 $AA$ 判定相似。
3. 比例線段：若題目給出線段比例（例如 $AD:DB = AE:EC$），常暗示 $DE \parallel BC$，從而 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$。
4. 面積比與線段比：記住面積比是線段比的平方。若 $\triangle ABC \sim \triangle XYZ$ 且 $BC:YZ = 3:2$，則面積比為 $9:4$。
5. 證明步驟：寫證明時，必須清晰列出判定條件（如 $SAS$, $AA$）及對應的邊、角關係。

此為“平行線截比例線段”定理的直接應用，是 DSE 常見題型。