U1 有向數 必考公式
有向數是數學的基礎，用於表示具有方向性的量，如溫度變化、海拔高度、財務盈虧等。理解正負數的運算規則及數線概念，是解決代數問題的關鍵第一步。
1 基本概念與數線
正數與負數
正數是比 $0$ 大的數，負數是比 $0$ 小的數。在數線上，正數位於 $0$ 的右方，負數位於 $0$ 的左方。$0$ 本身既不是正數也不是負數。
$$ \text{數線：} \quad \cdots \quad -3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad +1 \quad +2 \quad +3 \quad \cdots $$
2 四則運算規則
加法與減法
加法：同號相加，絕對值相加，符號不變；異號相加，絕對值相減，取絕對值較大者的符號。減法：減去一個數等於加上它的相反數，即 $a - b = a + (-b)$。
$$ (+a) + (+b) = +(a+b) \quad \text{；} \quad (-a) + (-b) = -(a+b) $$
$$ (+a) - (+b) = (+a) + (-b) $$
乘法與除法
同號相乘（除）得正，異號相乘（除）得負。先確定結果的符號，再計算絕對值的乘（除）法。
$$ (+a) \times (+b) = +ab \quad ; \quad (-a) \times (-b) = +ab $$
$$ (+a) \times (-b) = -ab \quad ; \quad (-a) \times (+b) = -ab $$
除法規則與乘法完全相同：$ \frac{+a}{+b} = +\frac{a}{b} $，$ \frac{-a}{-b} = +\frac{a}{b} $，$ \frac{+a}{-b} = -\frac{a}{b} $，$ \frac{-a}{+b} = -\frac{a}{b} $。
3 指數與括號運算
有向數的指數
負數的指數運算需特別注意括號的位置。$(-a)^n$ 表示底數是負 $a$；而 $-a^n$ 表示底數是正 $a$，計算完指數後再取負號。當指數 $n$ 是偶數時，結果為正；當 $n$ 是奇數時，結果為負。
$$ (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 $$
$$ -2^3 = -(2 \times 2 \times 2) = -8 $$
$$ (-2)^4 = +16 \quad \text{；} \quad -2^4 = -16 $$
去括號規則
括號前的符號決定了括號內每一項的符號變化。遵循「正號不變號，負號全變號」的原則。
$$ a + (b + c) = a + b + c $$
$$ a - (b + c) = a - b - c $$
$$ a - (b - c) = a - b + c $$
4 比較大小與應用
比較有向數的大小
在數線上，越靠右的數越大。因此，任何正數都大於 $0$，任何負數都小於 $0$。比較兩個負數時，絕對值越大的負數反而越小。
$$ -5 < -3 < 0 < +1 < +4 $$
應用題常見於溫度變化、水位升降、財務紀錄等。解題關鍵是設定正負方向（例如：上升為正，下降為負），然後根據題意進行有向數的運算。