U20 面積及體積 (II) 必考公式
本課題深入探討立體圖形的表面積與體積計算，重點包括相似立體、圓錐、球體、圓柱及棱錐的相關公式。掌握這些公式是解決 DSE 立體幾何應用題的關鍵。
1 相似立體 (Similar Solids)
長度比、面積比與體積比
若兩個立體相似，其對應邊的長度比為 $k$，則其對應的表面面積比為 $k^2$，而體積比為 $k^3$。
$$ \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^2 = k^2 \quad , \quad \frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^3 = k^3 $$
2 圓錐 (Cone)
體積與曲面面積
設圓錐的底半徑為 $r$，高為 $h$，斜高為 $l$。其體積為底面積乘以高的 $1/3$。曲面面積（不計底）為 $\pi r l$，其中 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$。
$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \quad , \quad \text{曲面面積} = \pi r l $$
3 球體 (Sphere)
表面面積與體積
設球體的半徑為 $r$。其表面面積為 $4\pi r^2$，體積為 $\frac{4}{3} \pi r^3$。這兩個公式必須熟記。
$$ A = 4\pi r^2 \quad , \quad V = \frac{4}{3} \pi r^3 $$
4 圓柱 (Cylinder)
體積與總表面面積
設圓柱的底半徑為 $r$，高為 $h$。其體積為底面積乘以高。總表面面積為兩個圓形底面加上一個長方形的曲面面積，該長方形的長是底的圓周 $2\pi r$，闊是 $h$。
$$ V = \pi r^2 h \quad , \quad \text{總表面面積} = 2\pi r^2 + 2\pi r h $$
5 棱錐 (Pyramid)
體積公式
任何棱錐（包括正棱錐）的體積，均為底面積乘以高的 $1/3$。此公式與圓錐體積公式結構相同。
$$ V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times h $$