U21 因式分解 (進階) 必考公式

在基礎因式分解之上，DSE 考試常考驗學生處理更複雜多項式的能力，包括分組分解法、十字相乘法處理二次三項式、以及運用恆等式分解高次多項式。掌握這些技巧是解決代數方程和函數問題的關鍵。

1 分組分解法 (Grouping)

當多項式有 $4$ 項或以上，且沒有單一的公因式時，可嘗試將項數分組，使各組之間有公因式。關鍵是分組後，各組提取公因式後會出現一個共同的因式。

$$ ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y) $$

例如：$2x^2 + 4xy - 3x - 6y = 2x(x+2y) - 3(x+2y) = (2x-3)(x+2y)$。

對於形式為 $ax^2 + bx + c$ 的二次三項式（其中 $a eq 0$），若 $a=1$，則尋找兩個數 $p$ 和 $q$，使得 $p+q = b$ 且 $pq = c$。若 $a eq 1$，則需考慮 $a$ 和 $c$ 的因數配對。

$$ x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q) $$

進階例子：分解 $6x^2 - 7x - 3$。需要找到兩對數 $(m, n)$ 和 $(p, q)$，使得 $m \times p = 6$， $n \times q = -3$，且 $mq + np = -7$。可得 $(2x-3)(3x+1)$。

這些恆等式可用於分解 $a^3 \pm b^3$ 形式的多項式，是處理高次方程的重要工具。

$$ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $$

$$ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $$

例子：$8x^3 - 27y^3 = (2x)^3 - (3y)^3 = (2x-3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$。

識別完全立方的形式，有助於快速分解或驗證結果。

$$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $$

$$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 $$

當十字相乘法不易直接看出時，可將中間項 $bx$ 拆成兩項，以便進行分組分解。

步驟：對於 $ax^2 + bx + c$，尋找兩數 $m$ 和 $n$，使 $m+n = b$ 且 $mn = ac$。然後將 $bx$ 拆為 $mx + nx$。

$$ ax^2 + bx + c = ax^2 + mx + nx + c $$

例子：分解 $3x^2 + 10x + 8$。$ac = 24$，尋找兩數和為 $10$，積為 $24$，得 $4$ 和 $6$。原式 $= 3x^2 + 4x + 6x + 8 = x(3x+4) + 2(3x+4) = (x+2)(3x+4)$。

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