U22 公式變換 (Change of Subject)

核心概念

公式變換的核心是將目標變數（例如 $y$）視為未知數，而公式中的其他變數則視為已知數。我們需要運用解方程的方法，例如移項、因式分解、開方等，將目標變數單獨放在等號的一邊。

基本步驟：

1. 清除分母（如有分數）。
2. 展開所有括號。
3. 將包含目標變數的項移到等號的一邊，其餘項移到另一邊。
4. 提取目標變數的公因式。
5. 將目標變數的係數除到等號另一邊，完成變換。

一次方程形式

這是最簡單的類型，目標變數只以一次方的形式出現。主要透過移項和除法完成。

例子：已知公式 $ax + by = c$，將 $x$ 變為主項。

步驟：先將 $by$ 移項得 $ax = c - by$，然後兩邊同時除以 $a$。

開方處理

當目標變數被平方或處於平方根內時，需要透過平方或開方來處理。注意開方後通常需要考慮正負號。

例子1：將公式 $A = \pi r^2$ 中的 $r$ 變為主項。

在實際應用中（如半徑），通常只取正值 $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$。

例子2：將公式 $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ 中的 $l$ 變為主項。

步驟：先兩邊平方以消去平方根。

交叉相乘與通分

當目標變數出現在分母，或公式本身是分式時，通常先交叉相乘或通分以清除分母。

例子1：將電阻並聯公式 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ 中的 $R_1$ 變為主項。

步驟：先將 $\frac{1}{R_1}$ 單獨移項，然後取倒數。

例子2：將公式 $\frac{x-a}{b} = \frac{y}{c}$ 中的 $y$ 變為主項。

因式分解技巧

當目標變數出現在多項中，且分佈在等號兩邊時，需要將它們集中到一邊，然後提取公因式。

例子：將公式 $ax = bx + c$ 中的 $x$ 變為主項。

步驟：將 $bx$ 移項得 $ax - bx = c$，提取公因式 $x$ 得 $x(a - b) = c$，最後兩邊除以 $(a-b)$。

更複雜的例子：將公式 $y = \frac{ax}{x+b}$ 中的 $x$ 變為主項。

步驟：交叉相乘得 $y(x+b) = ax$，展開得 $yx + by = ax$，移項得 $by = ax - yx$，提取公因式 $x$ 得 $by = x(a - y)$，最後完成變換。

考試要點

• 定義域限制：變換後必須註明變數的限制條件，例如分母不能為零（$a \neq 0$），平方根內的表達式必須非負等。
• 步驟展示：在長題目中，清晰展示變換步驟可以獲得步驟分。
• 驗算：可以將變換後的新公式代入原公式驗證是否恆等。
• 經典公式：熟練掌握常見公式的變換，如幾何公式（面積、體積）、物理公式（運動學、歐姆定律）等。

例子：在公式 $v = u + at$ 中，將 $a$ 變為主項。

必須註明 $t \neq 0$，因為它是分母。