U23 一元一次不等式 必考公式

不等式的基本形式

一元一次不等式的一般形式為 $ax + b > 0$、$ax + b < 0$、$ax + b \ge 0$ 或 $ax + b \le 0$，其中 $a$ 和 $b$ 為實數，且 $a \ne 0$。

符號 $\square$ 代表 $>$, $<$, $\ge$, $\le$ 其中一個。

不等式的運算性質

解不等式時，可以對不等式兩邊進行加、減、乘、除運算，但必須注意：

• 加減同一個數：不等式方向不變。若 $a > b$，則 $a + c > b + c$。
• 乘除同一個正數：不等式方向不變。若 $a > b$ 且 $c > 0$，則 $ac > bc$。
• 乘除同一個負數：不等式方向必須反轉。若 $a > b$ 且 $c < 0$，則 $ac < bc$。

解題步驟

解一元一次不等式 $ax + b > 0$ 的步驟與解方程類似，但需特別留意當乘以或除以負數時，不等號方向要反轉。

若 $a < 0$，則 $ax > -b \implies x < -\frac{b}{a}$。

解集與數線圖示

不等式的解通常是一個範圍，可以在數線上表示出來。空心圓點表示不包括該點 ($>$ 或 $<$)，實心圓點表示包括該點 ($\ge$ 或 $\le$)。

上圖紅色部分表示 $x > -2$ 的解集（空心圓點，向右延伸），綠色部分表示 $x \le 3$ 的解集（實心圓點，向左延伸）。

複合不等式 (Compound Inequalities)

由兩個或以上不等式組合而成，例如 $-2 < x \le 5$。解集為兩個不等式解集的交集，即同時滿足所有條件的 $x$ 值範圍。

在數線上，解集是兩個解集重疊的部分。

文字題應用

常見題型是將現實情境（如購物折扣、距離時間、分配問題）轉化為不等式並求解。關鍵步驟是設立未知數 $x$，根據題意列出不等式。

例子：小明有 $\$200$，他想買一些每本 $\$15$ 的筆記本。付款後，他希望餘額不少於 $\$50$。問他最多可以買多少本筆記本？

設購買數量為 $x$，則 $200 - 15x \ge 50$。解不等式：

所以小明最多可以買 $10$ 本筆記本。