U25 坐標幾何 (進階) 必考公式

本課題深入探討 DSE 坐標幾何中的進階概念，包括直線與圓的關係、軌跡方程及極坐標轉換。掌握這些公式是解決綜合題型的關鍵。

1 直線與圓的關係

直線與圓的交點數目

給定圓的方程 $C: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 及直線 $L: y = mx + c$。將 $L$ 代入 $C$ 會得到一個關於 $x$ 的二次方程。設其判別式為 $\Delta$。

$$ \Delta > 0 \Rightarrow \text{相交於兩點} $$
$$ \Delta = 0 \Rightarrow \text{相切於一點} $$
$$ \Delta < 0 \Rightarrow \text{沒有交點} $$
Δ > 0 (相交) Δ = 0 (相切) Δ < 0 (分離)

圓的切線方程

已知圓 $C: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 及圓上一點 $P(x_1, y_1)$。過 $P$ 的切線方程為：

$$ (x_1 - h)(x - h) + (y_1 - k)(y - k) = r^2 $$

若圓方程為一般式 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，則過點 $P(x_1, y_1)$ 的切線方程為：

$$ x_1 x + y_1 y + D\left(\frac{x + x_1}{2}\right) + E\left(\frac{y + y_1}{2}\right) + F = 0 $$

2 軌跡方程

動點軌跡

設動點 $P$ 的坐標為 $(x, y)$。根據題目給出的幾何條件（例如與固定點的距離、斜率關係），建立一個包含 $x$、$y$ 及已知常數的方程，化簡後即為軌跡方程。

常見條件：

  • 與兩定點距離相等：利用中垂線性質。
  • 與兩定點距離之和為常數：軌跡為橢圓。
  • 與一定點及一定直線距離相等：軌跡為拋物線。
  • 與兩定點距離之差的絕對值為常數：軌跡為雙曲線。
$$ \text{一般步驟：} 1. \text{設點} P(x, y) \quad 2. \text{列式} \quad 3. \text{化簡} \quad 4. \text{描述圖形} $$

3 極坐標

與直角坐標的轉換

極坐標以 $(r, \theta)$ 表示一點，其中 $r$ 是該點與極點 $O$ 的距離，$\theta$ 是由極軸逆時針量度到 $OP$ 的角度。

$$ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta $$
$$ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \ (\text{需考慮象限}) $$
P(r, θ) r θ 極軸

常見曲線的極坐標方程

以極點為圓心，半徑為 $a$ 的圓：

$$ r = a $$

過極點，與極軸成 $\alpha$ 角的直線：

$$ \theta = \alpha $$

圓心在極軸上 $(a, 0)$，半徑為 $a$ 的圓（即與極點相切）：

$$ r = 2a \cos \theta $$

4 進階應用：圓族

過兩圓交點的圓族方程

已知兩圓 $C_1: x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1 = 0$ 和 $C_2: x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2 = 0$ 相交於兩點 $A$ 和 $B$。則所有通過 $A$ 和 $B$ 的圓（以及直線 $AB$）的方程可以表示為：

$$ C_1 + k C_2 = 0 $$

即 $(x^2 + y^2 + D_1x + E_1y + F_1) + k(x^2 + y^2 + D_2x + E_2y + F_2) = 0$，其中 $k$ 為實數參數。當 $k = -1$ 時，二次項被消去，方程變為通過 $A$ 和 $B$ 的直線（公共弦）方程。

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