U26 三角學的應用 必考公式
本課題將三角比（正弦、餘弦、正切）及正弦、餘弦定律應用於解決二維及三維空間中的實際問題，包括求高度、距離、方位角及立體圖形中的角度與長度。
1 二維問題：仰角、俯角與方位角
仰角與俯角
當觀察者望向高於水平線的物件時，視線與水平線的夾角稱為仰角。當觀察者望向低於水平線的物件時，視線與水平線的夾角稱為俯角。兩者均為銳角。
方位角
方位角是以正北方向為起點，順時針方向量度至目標方向線的角度，範圍由 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。例如，$N30^\circ E$ 表示從正北向東偏 $30^\circ$，即方位角為 $030^\circ$。
2 正弦定律與餘弦定律
正弦定律
適用於任何三角形。已知兩角及一邊（AAS 或 ASA）或兩邊及非夾角（SSA，可能出現模糊情況），可用於求未知邊長或角度。
其中 $a$, $b$, $c$ 為三角形邊長，$A$, $B$, $C$ 為其對角，$R$ 為外接圓半徑。
餘弦定律
適用於任何三角形。已知兩邊及夾角（SAS）或三邊（SSS），可用於求第三邊或未知角度。
求角度的形式：$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$。
3 三維問題：直線與平面的夾角
直線與平面的夾角
一條直線與它在平面上的投影之間的銳角，稱為該直線與平面的夾角 $\theta$，其中 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$。
若已知直線的方向向量 $\mathbf{v}$ 和平面的法向量 $\mathbf{n}$，則 $\sin \theta = \dfrac{|\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}||\mathbf{n}|}$。
兩平面的交角
兩平面相交所成的兩個夾角中，銳角（或直角）稱為兩平面的交角。若已知兩平面的法向量 $\mathbf{n_1}$ 和 $\mathbf{n_2}$，則 $\cos \phi = \dfrac{|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}$。
4 立體圖形中的三角學應用
解題策略
解決三維問題時，關鍵是將問題分解到合適的二維平面（通常是直角三角形所在的平面）中處理。常用技巧包括：
- 識別並繪製關鍵的直角三角形。
- 利用畢氏定理及三角比（$\sin$, $\cos$, $\tan$）求未知邊長或角度。
- 在複雜圖形中，可能需要多次應用三角學定理。
- 注意所求的是直線長度、平面上的距離，還是空間中的最短距離（例如點到平面的垂直距離）。
例如，在長方體 $ABCDEFGH$ 中，求體對角線 $AG$ 與底面 $ABCD$ 的夾角。可先找出直角三角形 $\triangle ACG$，其中 $\angle ACG = 90^\circ$，則 $\tan \angle GAC = \frac{CG}{AC}$。