U27 面積及體積 (III) 必考公式
本課題主要探討相似平面圖形及立體圖形的面積比與體積比，以及理解及應用圓錐曲線（橢圓）的面積公式。掌握這些比例關係是解決相關 DSE 題目的關鍵。
1 相似圖形的面積比與體積比
相似平面圖形的面積比
若兩個平面圖形相似，其對應邊的長度比為 $k:1$，則它們的面積比為 $k^2:1$。
$$ \frac{A_1}{A_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^2 = k^2 $$
相似立體的體積比
若兩個立體圖形相似，其對應邊的長度比為 $k:1$，則它們的體積比為 $k^3:1$。
$$ \frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right)^3 = k^3 $$
2 橢圓的面積
橢圓面積公式
對於一個橢圓，其半長軸長度為 $a$，半短軸長度為 $b$，則其面積為 $\pi a b$。特別地，當 $a = b = r$ 時，橢圓退化為半徑為 $r$ 的圓，面積為 $\pi r^2$。
$$ A = \pi a b $$
3 應用與例題
例題：相似立體體積比
兩個相似圓柱體，較高圓柱的高度是較矮圓柱的 $2.5$ 倍。已知較矮圓柱的體積是 $64 \text{ cm}^3$，求較高圓柱的體積。
解：設高度比 $k = 2.5$。由於兩圓柱相似，所有對應長度比均為 $k:1$。根據相似立體的體積比公式，體積比為 $k^3:1$。
$$ \frac{V_{\text{高}}}{V_{\text{矮}}} = k^3 = (2.5)^3 = 15.625 $$
因此，較高圓柱的體積 $V_{\text{高}} = 64 \times 15.625 = 1000 \text{ cm}^3$。
例題：橢圓面積
一個橢圓形花圃的半長軸為 $8$ 米，半短軸為 $5$ 米。求花圃的面積。（答案以 $\pi$ 表示）
解：直接應用橢圓面積公式 $A = \pi a b$，其中 $a = 8$，$b = 5$。
$$ A = \pi \times 8 \times 5 = 40\pi $$
因此，花圃的面積為 $40\pi \text{ m}^2$。