U28 概率初探 必考公式
概率是衡量事件發生可能性的數學工具，其值介乎 $0$ 與 $1$ 之間。本課題涵蓋基本概率定義、互斥事件、互補事件及獨立事件的計算。
1 基本概率定義
概率的古典定義
若一個隨機試驗的所有可能結果（樣本點）是等可能發生的，則事件 $E$ 發生的概率定義為有利結果的數目與所有可能結果總數的比值。
$$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} $$
其中 $S$ 是樣本空間，$n(S)$ 是所有可能結果的總數，$n(E)$ 是事件 $E$ 包含的有利結果數目。由此定義可知，$0 \le P(E) \le 1$。
2 互斥事件與互補事件
互斥事件的加法法則
若事件 $A$ 與事件 $B$ 是互斥事件（即 $A \cap B = \varnothing$），則它們至少有一個發生的概率等於各自概率之和。
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$
互補事件的概率
事件 $E$ 的互補事件（記作 $E'$）是指 $E$ 不發生的事件。它們的概率之和為 $1$。
$$ P(E') = 1 - P(E) $$
這個公式非常實用，特別是當計算「不發生」的概率比計算「發生」的概率更簡單時。
3 一般加法法則與獨立事件
一般加法法則
對於任意兩個事件 $A$ 和 $B$（不一定互斥），它們至少有一個發生的概率計算公式如下。
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$
此公式考慮了 $A$ 和 $B$ 同時發生的情況（交集 $A \cap B$）被重複計算了一次，因此需要減去。
獨立事件的乘法法則
若事件 $A$ 的發生與否不影響事件 $B$ 發生的概率，則稱 $A$ 和 $B$ 為獨立事件。它們同時發生的概率等於各自概率的乘積。
$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$
判斷獨立性至關重要。常見的獨立事件例子包括：連續拋擲硬幣、從無限總體中抽樣（或有效回抽樣）。
4 條件概率
條件概率定義
在已知事件 $B$ 發生的條件下，事件 $A$ 發生的概率稱為條件概率，記作 $P(A|B)$。
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{其中 } P(B) > 0 $$
乘法法則（一般形式）
由條件概率的定義可以直接推導出計算兩事件同時發生概率的一般公式。
$$ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = P(B|A) \times P(A) $$
當 $A$ 和 $B$ 獨立時，$P(A|B) = P(A)$，此公式便簡化為獨立事件的乘法法則。