U29 幾何證明與四邊形 必考公式
本課題結合幾何證明與四邊形的性質，是DSE平面幾何的核心。學生需熟練運用各類四邊形的定義、性質及判定條件，並掌握嚴謹的邏輯推理步驟進行證明。
1 四邊形基本性質與證明方法
內角和與外角和
任何凸 $n$ 邊形的內角和及外角和均為固定值，是證明其他性質的基礎。
對於四邊形 ($n=4$)，內角和為 $360^\circ$。
2 平行四邊形 (Parallelogram)
定義與性質
兩組對邊分別平行的四邊形。其性質包括：對邊相等 ($AB = CD$, $BC = DA$)、對角相等 ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$)、鄰角互補 ($\angle A + \angle B = 180^\circ$)、對角線互相平分 ($AO = OC$, $BO = OD$)。
判定條件（證明思路）
要證明一個四邊形是平行四邊形，只需證明以下其中一項成立：
- 兩組對邊分別平行。
- 兩組對邊分別相等。
- 一組對邊平行且相等。
- 兩組對角分別相等。
- 對角線互相平分。
3 矩形、菱形、正方形
矩形 (Rectangle)
定義：四個角都是直角 ($90^\circ$) 的四邊形。它是平行四邊形的特例，因此具有平行四邊形的所有性質，且對角線相等 ($AC = BD$)。
菱形 (Rhombus)
定義：四條邊長度相等的四邊形。它是平行四邊形的特例，因此具有平行四邊形的所有性質，且對角線互相垂直 ($AC \perp BD$)，並平分內角。
正方形 (Square)
定義：既是矩形又是菱形的四邊形。因此它擁有矩形和菱形的所有性質：四邊相等、四角為直角、對角線相等且互相垂直平分。
4 梯形 (Trapezium) 與等腰梯形
梯形性質
定義：只有一組對邊平行的四邊形。平行的兩邊稱為上底和下底，其距離為高。
等腰梯形：非平行的一組對邊（腰）長度相等 ($AD = BC$)。性質包括：底角相等 ($\angle A = \angle B$, $\angle C = \angle D$)、對角線相等 ($AC = BD$)。
5 中點定理與截線定理
中點定理 (Mid-point Theorem)
在 $\triangle ABC$ 中，若 $D$ 和 $E$ 分別是 $AB$ 和 $AC$ 的中點，則 $DE \parallel BC$ 且 $DE = \frac{1}{2} BC$。
其逆定理亦常用於證明線段平行或長度關係。
截線定理 (Intercept Theorem)
若三條或以上平行線在一條直線上截出相等的線段，則它們在任何與之相交的直線上也會截出相等的線段。即若 $l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$ 且 $AB = BC$，則 $DE = EF$。