U2 代數簡介 必考公式
代數是數學的語言，它使用符號（如字母）來代表數字和數量，從而建立一般性的規則和關係。掌握代數的基本操作是解決更複雜數學問題的基石。
1 代數式展開與因式分解
恆等式
以下恆等式必須熟記，它們是展開和分解代數式的基礎工具。
$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$
$$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$
$$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $$
$$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$
$$ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $$
$$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $$
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$
因式分解方法
將多項式寫成幾個因式相乘的過程。常用方法包括：提取公因式、利用恆等式、十字相乘法（適用於 $ax^2 + bx + c$ 形式的二次三項式）及分組分解法。
$$ ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s) $$
其中 $p \times r = a$，$q \times s = c$，且 $ps + qr = b$。
2 指數定律
基本指數定律
設 $a$、$b$ 為正實數，$m$、$n$ 為有理數。以下定律適用於所有指數運算。
$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$
$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
$$ (a^m)^n = a^{mn} $$
$$ (ab)^n = a^n b^n $$
$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$
零指數與負指數
定義 $a^0 = 1$（其中 $a \neq 0$）及 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（其中 $a \neq 0$）。
$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$
分數指數
分數指數代表開方運算。
$$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $$
$$ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} $$
3 代數分式
基本運算
代數分式的加減乘除與數字分式規則相同，關鍵在於先進行因式分解以化簡和通分。
$$ \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD} $$
$$ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC} $$
$$ \frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD} $$
注意：分母 $B$ 和 $D$ 均不能為零。
4 多項式除法
長除法與餘式定理
當多項式 $f(x)$ 除以 $(x - a)$ 時，我們可以用長除法或餘式定理來求商式和餘數。
$$ f(x) = (x - a)Q(x) + R $$
其中 $Q(x)$ 是商式，$R$ 是餘數，且 $R$ 是一個常數。
因式定理
這是餘式定理的一個重要推論，用於判斷 $(x - a)$ 是否為 $f(x)$ 的因式。
$$ \text{若 } f(a) = 0, \text{ 則 } (x - a) \text{ 是 } f(x) \text{ 的因式。} $$
反之亦然：若 $(x - a)$ 是 $f(x)$ 的因式，則 $f(a) = 0$。