U32 二次函數及其圖像 必考公式
二次函數是 DSE 數學科的核心課題，其圖像為拋物線。掌握其一般式、頂點式、判別式及圖像特徵是解題關鍵。
1 二次函數的定義與一般式
定義
若一個函數可以寫成 $y = ax^2 + bx + c$ 的形式，其中 $a$、$b$、$c$ 為常數且 $a \neq 0$，則稱 $y$ 為 $x$ 的二次函數。
$$ y = ax^2 + bx + c $$
此為二次函數的一般式。其圖像是一條稱為拋物線的平滑曲線。
2 拋物線的開口方向與頂點
開口方向
由 $x^2$ 的係數 $a$ 決定：
- 若 $a > 0$，拋物線開口向上，形狀像「U」。
- 若 $a < 0$，拋物線開口向下，形狀像倒轉的「U」。
頂點式與頂點坐標
將一般式配方，可得到頂點式，直接讀出頂點坐標 $(h, k)$。
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
其中 $(h, k)$ 為拋物線的頂點。若 $a > 0$，頂點為最低點；若 $a < 0$，頂點為最高點。
由一般式 $y = ax^2 + bx + c$ 求頂點坐標的公式為：
$$ \left( -\frac{b}{2a}, \ c - \frac{b^2}{4a} \right) $$
3 判別式與 $x$ 軸截距
判別式
對於二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其判別式 $\Delta$ 決定了拋物線與 $x$ 軸的交點數目。
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
- 若 $\Delta > 0$，拋物線與 $x$ 軸有兩個相異交點。
- 若 $\Delta = 0$，拋物線與 $x$ 軸只有一個交點（相切於頂點）。
- 若 $\Delta < 0$，拋物線與 $x$ 軸沒有交點。
$x$ 軸截距（根）
拋物線與 $x$ 軸的交點，即方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。可用公式法求得：
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
當 $\Delta = 0$ 時，兩根相等，公式簡化為 $x = -\frac{b}{2a}$，即頂點的 $x$ 坐標。
4 $y$ 軸截距與對稱軸
$y$ 軸截距
將 $x = 0$ 代入函數，可得拋物線與 $y$ 軸的交點。
$$ y = a(0)^2 + b(0) + c = c $$
因此，$y$ 軸截距為 $(0, c)$。
對稱軸
拋物線是一條軸對稱圖形，其對稱軸是一條垂直線，穿過頂點。
對於一般式 $y = ax^2 + bx + c$，對稱軸的方程為：
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
對於頂點式 $y = a(x - h)^2 + k$，對稱軸的方程直接為 $x = h$。
5 二次函數圖像的變換
平移變換
以標準拋物線 $y = x^2$ 為基礎，透過頂點式 $y = a(x - h)^2 + k$ 理解平移：
- $h$ 控制水平平移：$h > 0$ 向右移，$h < 0$ 向左移。
- $k$ 控制垂直平移：$k > 0$ 向上移，$k < 0$ 向下移。
$$ y = x^2 \quad \xrightarrow{\text{平移}} \quad y = (x - h)^2 + k $$
伸縮與反射變換
係數 $a$ 影響拋物線的開口大小及方向：
- $|a| > 1$：圖像縱向拉長（變窄）。
- $0 < |a| < 1$：圖像縱向壓縮（變闊）。
- $a < 0$：圖像對 $x$ 軸作反射（倒轉）。