U33 多項式 必考公式
多項式是代數的基礎，涉及多項式的運算、除法、因式分解及餘式定理等核心概念。掌握這些公式是解決代數問題的關鍵。
1 多項式基本定義與運算
多項式定義
一個 $n$ 次多項式 $P(x)$ 的一般形式為 $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$，其中 $a_n \neq 0$，$n$ 為非負整數，$a_i$ 為實數係數。
$$ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$
2 多項式除法與因式定理
除法算法
對於兩個多項式 $P(x)$ 和 $D(x)$（其中 $D(x) \neq 0$），存在唯一的多項式 $Q(x)$（商式）和 $R(x)$（餘式），使得 $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$，其中 $R(x)$ 的次數小於 $D(x)$ 的次數或 $R(x) = 0$。
$$ P(x) \equiv D(x) \cdot Q(x) + R(x) $$
餘式定理
當多項式 $P(x)$ 除以一次式 $(x - a)$ 時，所得的餘數等於 $P(a)$。
$$ P(x) \div (x - a) \quad \Rightarrow \quad \text{餘數} = P(a) $$
因式定理
若 $P(a) = 0$，則 $(x - a)$ 是多項式 $P(x)$ 的一個因式。反之亦然。
$$ P(a) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x - a) \text{ 是 } P(x) \text{ 的因式} $$
3 多項式方程與根
根與係數關係（韋達定理）
對於二次多項式 $P(x) = ax^2 + bx + c = 0$，若其根為 $\alpha$ 和 $\beta$，則有：
$$ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha \beta = \frac{c}{a} $$
對於三次多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，若其根為 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$，則有：
$$ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}, \quad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} $$
重根與判別式
對於二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 決定了根的性質：
- 若 $\Delta > 0$，則有兩個相異實根。
- 若 $\Delta = 0$，則有兩個相等實根（重根）。
- 若 $\Delta < 0$，則沒有實根（有兩個共軛複數根）。
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
4 多項式恆等式與因式分解
常用恆等式
以下恆等式在因式分解和展開中非常有用：
$$ \begin{aligned}
a^2 - b^2 &= (a - b)(a + b) \\
a^3 \pm b^3 &= (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) \\
(a \pm b)^2 &= a^2 \pm 2ab + b^2 \\
(a \pm b)^3 &= a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3
\end{aligned} $$
因式分解策略
分解多項式 $P(x)$ 時，可依次嘗試：
- 提取公因式。
- 使用恆等式。
- 使用因式定理尋找有理根，再進行長除法。
- 對於二次式，使用十字相乘法或公式法。