U34 複數 必考公式
複數是擴展實數系的重要概念，引入虛數單位 $i$，其中 $i^2 = -1$。本課題涵蓋複數的表示、運算、共軛、模、極式及解方程等核心內容，是DSE數學科延伸單元二的關鍵課題。
1 複數的定義與基本形式
定義與標準形式
任何複數 $z$ 都可以寫成 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 均為實數，$i$ 是虛數單位，滿足 $i^2 = -1$。$a$ 稱為實部 (Real part)，記作 $\operatorname{Re}(z)$；$b$ 稱為虛部 (Imaginary part)，記作 $\operatorname{Im}(z)$。
2 複數的運算
加減法與乘法
設 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$。加減法為對應實部與虛部相加減。乘法遵循分配律，並利用 $i^2 = -1$ 化簡。
共軛複數與除法
複數 $z = a + bi$ 的共軛複數 (Conjugate) 定義為 $\overline{z} = a - bi$。共軛複數的性質在化簡除法及求模時非常重要。複數除法是將分子分母同時乘以分母的共軛複數。
3 模與輻角
模 (Modulus)
複數 $z = a + bi$ 的模，記作 $|z|$，代表它在複平面上與原點的距離。它是一個非負實數。
重要性質：$|z|^2 = z \overline{z}$，且 $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$，$\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$（其中 $z_2 \neq 0$）。
輻角 (Argument) 與極式
輻角 $\arg(z)$ 是複數在複平面上與正實軸的夾角，通常取主值，範圍為 $-\pi < \theta \le \pi$。利用模和輻角可寫出複數的極式 (Polar form)。
其中 $r = |z|$，$\theta = \arg(z)$。若 $z = a + bi$，則 $\tan \theta = \frac{b}{a}$，但需根據 $a, b$ 的符號判斷象限以確定正確的 $\theta$。
4 棣美弗定理與複數的 $n$ 次方根
棣美弗定理 (De Moivre's Theorem)
對於任意整數 $n$ 及複數 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$，其 $n$ 次冪可由棣美弗定理求得。這是處理複數乘冪和方根的關鍵定理。
複數的 $n$ 次方根
非零複數 $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ 有恰好 $n$ 個不同的 $n$ 次方根。
其中 $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$。這些根在複平面上均勻分佈在以原點為圓心、半徑為 $\sqrt[n]{r}$ 的圓上。
5 解二次方程
判別式與複數根
對於實係數二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$)，當判別式 $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ 時，方程有一對共軛複數根。
記住，$\sqrt{-\Delta}$ 是一個正實數，例如 $\sqrt{-4} = 2i$。