U35 指數與對數函數必考公式

指數函數 $y = a^x$ 與對數函數 $y = \log_a x$ 是 DSE 數學科的核心課題，兩者互為反函數，廣泛應用於增長與衰減模型、複利息計算及解指數方程等問題。掌握其定義、性質、圖像及變換是解題關鍵。

1 指數定律與對數定律

指數定律 (Laws of Indices)

設 $a, b > 0$ 且 $a, b \neq 1$，$m$ 和 $n$ 為任意實數。

$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$

$$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$

$$ (a^m)^n = a^{mn} $$

$$ (ab)^n = a^n b^n $$

$$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$

對數定律 (Laws of Logarithms)

設 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，$M, N > 0$，$p$ 為任意實數。

$$ \log_a (MN) = \log_a M + \log_a N $$

$$ \log_a \left(\frac{M}{N}\right) = \log_a M - \log_a N $$

$$ \log_a (M^p) = p \log_a M $$

特別注意：$\log_a (M+N) \neq \log_a M + \log_a N$。

2 指數函數與對數函數的定義及關係

定義與互逆關係

對於 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，指數函數 $y = a^x$ 與對數函數 $y = \log_a x$ 互為反函數。這意味著：

$$ y = a^x \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_a y $$

由此可導出兩個極其重要的恆等式：

$$ a^{\log_a x} = x \quad \text{（其中 } x > 0 \text{）} $$

$$ \log_a (a^x) = x \quad \text{（其中 } x \in \mathbb{R} \text{）} $$

換底公式 (Change of Base Formula)

當需要計算不同底數的對數時，可使用換底公式。設 $a, b > 0$ 且 $a, b \neq 1$，$x > 0$。

$$ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} $$

特別地，常用對數（底為 $10$）和自然對數（底為 $e$）的換底形式為：$\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a}$。

3 函數圖像與性質

指數函數 $y = a^x$

其圖像必過點 $(0, 1)$ 和 $(1, a)$。$x$ 軸是圖像的水平漸近線。

當 $a > 1$

嚴格遞增，增長速度隨 $x$ 增大而加快。

當 $0 < a < 1$

嚴格遞減，衰減速度隨 $x$ 增大而減慢。

對數函數 $y = \log_a x$

其圖像必過點 $(1, 0)$ 和 $(a, 1)$。$y$ 軸是圖像的垂直漸近線。它是相應指數函數圖像關於直線 $y = x$ 的反射。

當 $a > 1$

嚴格遞增，增長速度隨 $x$ 增大而減慢。

當 $0 < a < 1$

嚴格遞減，衰減速度隨 $x$ 增大而加快。

4 解指數方程與對數方程

常用技巧

解這類方程的核心是將方程兩邊化為同底數的指數或對數，然後比較指數或真數。必須檢查答案是否滿足定義域（例如對數的真數必須大於 $0$）。

技巧一：化為同底

例如：解 $4^{x+1} = 8^{x-2}$。將兩邊化為以 $2$ 為底：$(2^2)^{x+1} = (2^3)^{x-2}$，得 $2^{2x+2} = 2^{3x-6}$，因此 $2x+2 = 3x-6$，解得 $x=8$。

技巧二：代換法

例如：解 $3^{2x} - 4 \

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