U36 變分 必考公式
變分是描述兩個或多個變量之間關係的數學概念。在 DSE 考試中，主要考察正變、反變、聯變及部分變。理解變分關係的定義及如何建立方程是解題關鍵。
1 正變 (Direct Variation)
定義與公式
若 $y$ 隨 $x$ 正變，則 $y$ 與 $x$ 成正比。記作 $y \propto x$。存在一個非零常數 $k$，使得 $y = kx$，其中 $k$ 稱為變分常數。
2 反變 (Inverse Variation)
定義與公式
若 $y$ 隨 $x$ 反變，則 $y$ 與 $x$ 成反比。記作 $y \propto \frac{1}{x}$。存在一個非零常數 $k$，使得 $y = \frac{k}{x}$ 或 $xy = k$。
3 聯變 (Joint Variation)
定義與公式
若 $z$ 同時隨 $x$ 和 $y$ 正變，則稱為 $z$ 隨 $x$ 和 $y$ 聯變。記作 $z \propto xy$。存在一個非零常數 $k$，使得 $z = kxy$。聯變可以推廣至多個變量，並可包含正變與反變的組合。
例子：若 $P \propto \frac{Q}{\sqrt{R}}$，則可設 $P = k \cdot \frac{Q}{\sqrt{R}}$。
4 部分變 (Partial Variation)
定義與公式
部分變是指一個變量由兩部分組成：一部分是常數，另一部分隨另一個變量而變。最常見的形式是 $y$ 部分隨 $x$ 正變，即 $y = kx + c$，其中 $k$ 和 $c$ 均為常數，且 $k \neq 0$。
注意：$c$ 是當 $x = 0$ 時 $y$ 的值，它是一個固定的常數，不隨 $x$ 變化。
5 解題步驟與例子
通用解題步驟
- 根據題意寫出變分關係式（例如 $y \propto x^2$）。
- 引入變分常數 $k$，建立方程（例如 $y = kx^2$）。
- 利用題目給出的對應值，求出 $k$ 的值。
- 將 $k$ 的值代回方程，得到完整的變分公式。
- 使用完整的公式去計算題目要求的未知數。
例子
已知 $y$ 隨 $x$ 的平方正變。當 $x = 3$ 時，$y = 18$。
(a) 以 $x$ 表示 $y$。
(b) 求當 $x = 5$ 時 $y$ 的值。
解：
(a) 根據題意，$y \propto x^2$。
設 $y = kx^2$。
代入 $x = 3, y = 18$： $18 = k(3)^2 \Rightarrow 18 = 9k \Rightarrow k = 2$。
因此，$y = 2x^2$。
(b) 當 $x = 5$ 時，$y = 2 \times (5)^2 = 2 \times 25 = 50$。