U37 圓的幾何特性 必考公式
本課題涵蓋圓的基本幾何特性，包括弦、弧、圓心角、圓周角、切線及交角定理。掌握這些定理是解決 DSE 平面幾何綜合題的關鍵。
1 弦與圓心角
等弦對等角，等角對等弦
在同一圓中，相等的弦所對應的圓心角相等。反之，相等的圓心角所對的弦也相等。若 $AB = CD$，則 $\angle AOB = \angle COD$。
$$ \text{若 } AB = CD, \text{ 則 } \angle AOB = \angle COD $$
圓心至弦的垂線
從圓心 $O$ 向弦 $AB$ 作垂線，垂足為 $M$，則 $M$ 是弦 $AB$ 的中點，即 $AM = MB$。反之，若 $M$ 是弦的中點，則 $OM \perp AB$。
$$ OM \perp AB \iff AM = MB $$
2 圓周角與圓心角
圓心角兩倍於圓周角
對於同一段弧 $AB$，其對應的圓心角 $\angle AOB$ 是圓周角 $\angle ACB$ 的兩倍。這是本課題最核心的定理。
$$ \angle AOB = 2 \angle ACB $$
同弓形內的圓周角
在同一弓形（即同一段弧）上的圓周角相等。圖中 $\angle ACB = \angle ADB = \angle AEB$。
$$ \angle ACB = \angle ADB = \angle AEB $$
半圓上的圓周角
半圓上的圓周角是直角。若 $AB$ 是圓的直徑，則 $\angle ACB = 90^\circ$。
$$ \text{若 } AB \text{ 是直徑，則 } \angle ACB = 90^\circ $$
3 切線特性
切線與半徑垂直
圓的切線與經過切點的半徑互相垂直。圖中 $AT$ 是切線，$O$ 是圓心，則 $OA \perp AT$。
$$ OA \perp AT $$
切線長度相等
從圓外一點 $P$ 引出的兩條切線，其長度相等。圖中 $PA = PB$。
$$ PA = PB $$
交角定理
弦切角（$\angle BAT$）等於其內對的圓周角（$\angle ACB$）。這是證明角度相等的利器。
$$ \angle BAT = \angle ACB $$
4 圓內接四邊形
對角互補
圓內接四邊形的對角互補，即兩對對角之和為 $180^\circ$。
$$ \angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ $$
外角等於內對角
圓內接四邊形的外角等於其內對角。圖中 $\angle CBE = \angle ADC$。
$$ \angle CBE = \angle ADC $$