U38 方程的進階解法 必考公式
本課題涵蓋 DSE 數學科中處理複雜方程的關鍵技巧，包括分式方程、無理方程、指數方程、對數方程及三角方程。掌握這些解法是解決應用題及綜合題的基礎。
1 分式方程與無理方程
分式方程解法
解分式方程時，先找出所有分母的最低公倍式 (L.C.M.)，然後將方程兩邊乘以該 L.C.M. 以消去分母，化為整式方程。解出根後，必須驗根，確保解不會使原方程的分母為 $0$。
例如上方程，兩邊乘以 $(x-2)(x+1)$ 得 $1(x+1) + 3(x-2) = 2(x-2)(x+1)$，化簡後解二次方程，並驗證 $x eq 2$ 且 $x eq -1$。
無理方程解法
解無理方程（即根式方程）時，通常先將根式單獨置於方程一邊，然後將兩邊平方以消去根號。有時需要平方兩次。解出根後，必須驗根，確保解滿足原方程的根號內表達式 $\ge 0$ 的條件。
兩邊平方得 $2x+3 = (x-1)^2$，化簡為 $x^2 - 4x - 2 = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{6}$。驗根後，只有 $x = 2 + \sqrt{6}$ 滿足原方程（因為 $x-1 > 0$ 且根號內非負）。
2 指數方程與對數方程
指數方程解法
若方程可化為 $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ 的形式，其中 $a > 0$ 且 $a eq 1$，則可透過比較指數得出 $f(x) = g(x)$。若底數不同，可嘗試化為相同底數，或對方程兩邊取對數。
將 $8$ 寫成 $2^3$，方程化為 $2^{x+1} = 2^{3(x-2)}$，因此 $x+1 = 3x - 6$，解得 $x = \frac{7}{2}$。
對數方程解法
利用對數的性質（如 $\log_a M = \log_a N \Rightarrow M = N$，其中 $M, N > 0$）將方程化簡。解出根後，必須驗根，確保解使原方程中所有對數的真數 $> 0$。
利用對數加法性質：$\log_2 [(x+3)(x-1)] = 3$，因此 $(x+3)(x-1) = 2^3 = 8$，化簡得 $x^2 + 2x - 11 = 0$，解得 $x = -1 \pm 2\sqrt{3}$。驗根後，只有 $x = -1 + 2\sqrt{3}$ 滿足 $x+3>0$ 且 $x-1>0$。
3 三角方程
基本三角方程通解
對於 $\sin \theta = k$、$\cos \theta = k$ 和 $\tan \theta = k$，其通解公式如下。解題時需注意題目要求的 $\theta$ 範圍（例如 $0^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ}$）。
其中 $n$ 為整數，$\alpha$ 是對應的參考角（銳角）。例如，解 $\sin \theta = \frac{1}{2}$ 在 $0^{\circ} \le \theta \le 360^{\circ}$ 內的解，參考角 $\alpha = 30^{\circ}$，代入公式得 $\theta = 30^{\circ}, 150^{\circ}$。
解三角方程的步驟
1. 利用恆等式（如 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$、倍角公式）將方程化為單一三角函數。
2. 設代換 $u = \sin \theta$（或其他）將方程化為代數方程。
3. 解出 $u$ 後，再利用基本三角方程的通解公式求 $\theta$。
4. 根據題目要求選取 $\theta$ 在特定範圍內的值。
利用 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$，方程化為 $2(1-\cos^2 \theta) - 3\cos \theta = 0$，即 $2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$。解得 $\cos \theta = \frac{1}{2}$ 或 $\cos \theta = -2$（捨去）。因此 $\theta = 360^{\circ}n \pm 60^{\circ}$。
4 解方程綜合技巧
代換法
對於複雜的方程，可透過適當的代換（設 $y = \text{某表達式}$）將其化為熟悉的方程形式（如二次方程）。
設 $y = 2^x$，則方程化為 $y^2 - 5y + 4 = 0$，解得 $y = 1$ 或 $y = 4$。因此 $2^x = 1 \Rightarrow x=0$，或 $2^x = 4 \Rightarrow x=2$。
圖解法與判別式
方程 $f(x) = g(x)$ 的解，即為曲線 $y=f(x)$ 與 $y=g(x)$ 的交點的 $x$ 坐標。對於二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其判別式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 決定了實根的數量：$\Delta > 0$（兩相異實根），$\Delta = 0$（兩相等實根），$\Delta < 0$（沒有實根）。
此判別式在討論曲線與直線的交點數目，或方程參數的取值範圍問題中極為重要。