U39 等差與等比數列 必考公式

定義與通項

若一個數列中，任意相鄰兩項的差是一個常數，則稱之為等差數列。這個常數稱為公差（Common Difference），記作 $d$。設首項為 $a$，則第 $n$ 項（通項）為：

例如，數列 $3, 7, 11, 15, \dots$ 的首項 $a=3$，公差 $d=4$，其第 $10$ 項為 $T(10) = 3 + (10-1) \times 4 = 39$。

等差數列之和

首 $n$ 項之和 $S(n)$ 有兩個常用公式，視乎已知條件選用。設首項為 $a$，末項為 $l$，項數為 $n$。

或

例如，求 $5 + 9 + 13 + \dots$（共 $20$ 項）的和。已知 $a=5$, $d=4$, $n=20$，代入公式得 $S(20) = \frac{20}{2} \big[ 2\times5 + (20-1)\times4 \big] = 860$。

定義與通項

若一個數列中，任意相鄰兩項的比是一個常數，則稱之為等比數列。這個常數稱為公比（Common Ratio），記作 $r$，且 $r \neq 0$。設首項為 $a$，則第 $n$ 項（通項）為：

例如，數列 $2, 6, 18, 54, \dots$ 的首項 $a=2$，公比 $r=3$，其第 $6$ 項為 $T(6) = 2 \times 3^{\,6-1} = 486$。

等比數列之和

首 $n$ 項之和 $S(n)$ 的公式取決於公比 $r$ 的值。當 $r \neq 1$ 時：

或等價形式 $S(n) = \frac{a(r^{\,n} - 1)}{r - 1}$。當 $r = 1$ 時，數列為常數數列，$S(n) = na$。

例如，求 $4 - 8 + 16 - 32 + \dots$（共 $8$ 項）的和。已知 $a=4$, $r=-2$, $n=8$，代入公式得 $S(8) = \frac{4[1 - (-2)^{8}]}{1 - (-2)} = \frac{4(1 - 256)}{3} = -340$。

無窮等比級數之和

當公比 $r$ 滿足 $|r| < 1$ 時，等比數列的和在項數趨向無窮（$n \to \infty$）時會收斂到一個有限值。無窮項之和 $S(\infty)$ 的公式為：

例如，求 $9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \dots$ 的無窮項和。已知 $a=9$, $r=\frac{1}{3}$，因 $|r|<1$，故 $S(\infty) = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{2}$。

已知兩項求通項

若已知等差數列中 $T(m) = A$ 及 $T(n) = B$，可透過聯立方程求出首項 $a$ 和公差 $d$。等比數列則聯立求 $a$ 和 $r$。

例：一等差數列中，$T(3)=10$，$T(7)=26$。求 $a$ 和 $d$。
由 $a+2d=10$ 及 $a+6d=26$，解得 $d=4$, $a=2$。

插入等差/等比中項

在兩數 $x$ 和 $y$ 之間插入 $k$ 個數，使它們與 $x, y$ 構成等差（或等比）數列。插入的數稱為中項。

等差：總項數 $n = k+2$，公差 $d = \frac{y-x}{k+1}$。
等比：總項數 $n = k+2$，公比 $r = \left(\frac{y}{x}\right)^{\frac{1}{k+1}}$（假設 $x, y$ 同號）。

數列與對數的關係

若一個數列的各項取對數（例如 $\log T(n)$）後形成等差數列，則原數列是等比數列。這是判斷數列類型的有用技巧。

例：對於等比數列 $T(n)=a r^{\,n-1}$，取常用對數得