U3 一元一次方程 必考公式
一元一次方程是代數的基礎，指只含有一個未知數，且該未知數的最高次數為 $1$ 的方程。掌握其解法是理解更複雜方程的關鍵。
1 標準形式與基本解法
標準形式
一元一次方程的標準形式為 $ax + b = 0$，其中 $a$ 和 $b$ 為常數，且 $a \neq 0$。$x$ 是我們要求解的未知數。
$$ ax + b = 0 \quad (a \neq 0) $$
求解步驟
解方程 $ax + b = 0$ 的目標是將未知數 $x$ 單獨留在等號的一邊。基本步驟是：先將常數項 $b$ 移項，再將 $x$ 的係數 $a$ 除過去。
$$ x = -\frac{b}{a} $$
這是方程的唯一解。移項時，等號兩邊進行相同的運算（加、減、乘、除），等式仍然成立。
2 移項法則與應用
移項法則
移項是解方程的核心技巧。一個項從等號的一邊移到另一邊時，其運算符號必須改變：正變負，負變正；乘變除，除變乘。
$$ \text{若} \quad A + B = C \quad \text{則} \quad A = C - B $$
$$ \text{若} \quad A \times B = C \quad \text{則} \quad A = \frac{C}{B} \quad (B \neq 0) $$
例如，解方程 $3x - 7 = 5$：先將 $-7$ 移項變成 $+7$，得到 $3x = 5 + 7$，即 $3x = 12$；再將乘數 $3$ 移項變成除數，得到 $x = 12 \div 3$，所以 $x = 4$。
3 文字題建立方程
關鍵步驟
解決應用題（文字題）的步驟：1. 設定未知數（例如：設 $x$ 為...）。2. 根據題意，用含有 $x$ 的代數式表示其他相關量。3. 找出等量關係，建立方程。4. 解方程並驗算答案是否符合題意。
例子：一個數的 $5$ 倍加 $2$ 等於 $17$，求該數。
設該數為 $x$。根據題意：$5$ 倍加 $2$ 寫成 $5x + 2$，等於 $17$。因此方程為 $5x + 2 = 17$。解得 $5x = 15$，$x = 3$。
4 特殊情況
無解與無限多解
在化簡方程 $ax + b = 0$ 的過程中，可能會出現兩種特殊情況：
- 矛盾方程（無解）： 化簡後得到一個恆假的陳述，例如 $0 \cdot x = k$，其中 $k$ 是一個非零常數。這表示沒有任何 $x$ 值能滿足方程。例如：$2x + 3 = 2x + 5$ 化簡後得 $0 = 2$，無解。
- 恆等方程（無限多解）： 化簡後得到一個恆真的陳述，例如 $0 \cdot x = 0$。這表示任何 $x$ 值都能滿足方程。例如：$2x + 3 = 2x + 3$ 或 $4x - 1 = 2(2x - 0.5)$，化簡後得 $0 = 0$，無限多解。
$$ \text{若 } a = 0, b \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \text{無解} $$
$$ \text{若 } a = 0, b = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{無限多解} $$