U40 軌跡與圓方程 必考公式
軌跡是滿足特定條件的所有點所組成的圖形。圓是最常見的軌跡之一，其定義為與一固定點（圓心）保持固定距離（半徑）的所有點的集合。掌握圓的標準方程和一般方程是 DSE 數學科的核心要求。
1 圓的標準方程
已知圓心及半徑
若圓心坐標為 $(h, k)$，半徑為 $r$，則圓的方程為：
特別地，當圓心在原點 $(0, 0)$ 時，方程簡化為 $x^2 + y^2 = r^2$。
2 圓的一般方程
標準方程的展開形式
將標準方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 展開，可得到圓的一般方程：
其中 $D = -2h$, $E = -2k$, $F = h^2 + k^2 - r^2$。此方程代表圓的條件是：$D^2 + E^2 - 4F > 0$。
由一般式求圓心及半徑
若已知圓的一般方程為 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，可透過「配方法」還原為標準式，從而求得圓心坐標及半徑。
計算半徑時，必須確保根號內的數值為正數，否則該方程不代表一個實數圓。
3 常見軌跡問題
與兩定點等距
與兩定點 $A$ 和 $B$ 保持相等距離的點的軌跡，是線段 $AB$ 的垂直平分線。
與一定點及一定直線等距
與一個定點（焦點）及一條定直線（準線）保持相等距離的點的軌跡，是一條拋物線。
圓作為軌跡
圓的定義本身就是一種軌跡：與定點（圓心）的距離為常數（半徑）的所有點的集合。設動點為 $P(x, y)$，圓心為 $C(h, k)$，則軌跡方程由距離公式 $PC = r$ 推導出來：$\sqrt{(x-h)^2 + (y-k)^2} = r$，兩邊平方後即得標準方程。
4 重要關係與應用
點與圓的位置關係
給定一點 $P(x_0, y_0)$ 及圓 $C: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，設 $d$ 為點 $P$ 到圓心 $C$ 的距離。
- 若 $d < r$，則點 $P$ 在圓內。
- 若 $d = r$，則點 $P$ 在圓上。
- 若 $d > r$，則點 $P$ 在圓外。
計算時，可將點坐標代入圓方程左邊：$S = (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 - r^2$。若 $S < 0$，則點在圓內；$S = 0$，則點在圓上；$S > 0$，則點在圓外。
直線與圓的交點
求直線 $y = mx + c$ 與圓 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 的交點，可將直線方程代入圓方程，得到一個關於 $x$（或 $y$）的一元二次方程。其判別式 $\Delta$ 決定了交點數目：
- $\Delta > 0$：直線與圓相交於兩點（割線）。
- $\Delta = 0$：直線與圓相切於一點（切線）。
- $\Delta < 0$：直線與圓沒有交點（相離）。