U41 三角函數的圖像及性質 必考公式

正弦函數 $y = \sin x$

正弦函數的圖像為一條連續、平滑的波浪線。其定義域為所有實數，值域為 $[-1, 1]$。函數是週期性的，基本週期為 $2\pi$，且是奇函數，滿足 $\sin(-x) = -\sin x$。

餘弦函數 $y = \cos x$

餘弦函數的圖像與正弦函數相似，但相位相差 $\frac{\pi}{2}$，即 $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$。其定義域為所有實數，值域為 $[-1, 1]$。基本週期為 $2\pi$，且是偶函數，滿足 $\cos(-x) = \cos x$。

正切函數 $y = \tan x$

正切函數的圖像由一系列不連續的分支組成，在 $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$（$n$ 為整數）處有垂直漸近線。定義域為 $x eq \frac{\pi}{2} + n\pi$，值域為所有實數。基本週期為 $\pi$，且是奇函數。

一般形式與性質

正弦和餘弦函數可以通過參數 $a$, $b$, $c$, $d$ 進行伸縮和平移變換。其中 $|a|$ 稱為振幅，$\frac{2\pi}{|b|}$ 為週期，$c$ 影響相位（水平平移），$d$ 影響垂直平移。

振幅 (Amplitude): $|a|$，決定圖像垂直方向的伸縮。
週期 (Period): $T = \frac{2\pi}{|b|}$，決定圖像水平方向的伸縮。
相位平移 (Phase Shift): $-\frac{c}{b}$，決定圖像水平方向的平移。
垂直平移 (Vertical Shift): $d$，決定圖像垂直方向的平移。
值域 (Range): $[d - |a|, d + |a|]$。

正弦與餘弦函數的極值

對於函數 $y = a\sin(bx + c) + d$ 或 $y = a\cos(bx + c) + d$，其極大值和極小值可以直接從振幅和垂直平移得出。

求取極值對應的 $x$ 坐標時，需要解方程 $\sin(bx + c) = 1$（求極大值）或 $\sin(bx + c) = -1$（求極小值）。對於餘弦函數同理。

正切函數的週期

正切函數 $y = a\tan(bx + c) + d$ 的圖像變換規則與正弦餘弦類似，但其週期計算不同，且沒有振幅概念（因為值域為全體實數）。

垂直漸近線的位置由 $bx + c = \frac{\pi}{2} + n\pi$ 給出，其中 $n$ 為整數。相位平移為 $-\frac{c}{b}$，垂直平移為 $d$。

繪製 $y = a\sin(bx + c) + d$ 的步驟

掌握系統化的繪圖步驟是解題關鍵：

1. 確定基本週期 $T = \frac{2\pi}{|b|}$。
2. 確定振幅 $|a|$ 和值域 $[d - |a|, d + |a|]$。
3. 確定相位平移：將基本 $y = \sin x$ 圖像向左或右平移 $-\frac{c}{b}$ 單位。
4. 確定垂直平移：將整個圖像向上或下平移 $d$ 單位。
5. 標出關鍵點：在一個週期內（例如從 $x = -\frac{c}{b}$ 開始），找出對應 $\sin$ 值為 $0, 1, -1$ 的點，再根據 $a$ 和 $d$ 調整 $y$ 坐標。
6. 用平滑曲線連接各點，並根據週期性重複圖案。

對於 $y = a\cos(bx + c) + d$，步驟完全相同，只是起始的關鍵點位置來自餘弦函數。