U44 進階概率 必考公式
本課題深入探討條件概率、貝葉斯定理、獨立事件及互斥事件等核心概念，是 DSE 數學科必修部分及延伸單元 M1/M2 的關鍵內容。
1 條件概率 (Conditional Probability)
定義與公式
在已知事件 $B$ 發生的條件下，事件 $A$ 發生的概率，記作 $P(A|B)$。其定義為 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，其中 $P(B) > 0$。
$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$
2 乘法法則 (Multiplication Law)
一般形式
由條件概率公式直接推導得出，用於計算兩個事件同時發生的概率。
$$ P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = P(B|A) \times P(A) $$
獨立事件 (Independent Events)
若事件 $A$ 與 $B$ 獨立，則 $A$ 的發生不影響 $B$ 的概率，反之亦然。此時 $P(A|B) = P(A)$ 且 $P(B|A) = P(B)$。
$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$
3 互斥事件與互補事件
互斥事件 (Mutually Exclusive Events)
若事件 $A$ 與 $B$ 不可能同時發生，則 $A \cap B = \varnothing$，$P(A \cap B) = 0$。注意：互斥事件通常不是獨立事件。
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $$
互補事件 (Complementary Events)
事件 $A$ 的互補事件（記作 $A'$）是指「$A$ 不發生」的事件。它們是互斥的，且其聯集為整個樣本空間。
$$ P(A') = 1 - P(A) $$
4 全概率公式與貝葉斯定理
全概率公式 (Law of Total Probability)
若事件 $B_1, B_2, ..., B_n$ 構成樣本空間 $S$ 的一個分割（即互斥且聯集為 $S$），則對任意事件 $A$ 有：
$$ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) P(B_i) $$
貝葉斯定理 (Bayes' Theorem)
用於在已知結果 $A$ 發生的情況下，推斷某個原因 $B_i$ 發生的概率。是全概率公式與條件概率的結合。
$$ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A|B_j) P(B_j)} $$