U47 三角形四心 必考公式
三角形有四種重要的幾何中心：內心、外心、重心和垂心。它們分別由角平分線、垂直平分線、中線和高線的交點定義，在解題中扮演關鍵角色。
1 內心 (Incentre)
定義與性質
內心是三角形三條內角平分線的交點，記作 $I$。它是三角形內切圓的圓心，到三邊的距離相等，這個距離就是內切圓的半徑 $r$。
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$
其中 $a, b, c$ 為三邊長，$A, B, C$ 為對角，$R$ 為外接圓半徑。內心坐標可用角平分線性質或向量法求得。
2 外心 (Circumcentre)
定義與性質
外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，記作 $O$。它是三角形外接圓的圓心，到三個頂點的距離相等，這個距離就是外接圓半徑 $R$。
$$ R = \frac{abc}{4\Delta} $$
其中 $\Delta$ 為三角形的面積。對於直角三角形，外心位於斜邊的中點，且 $R$ 等於斜邊長的一半。
3 重心 (Centroid)
定義與性質
重心是三角形三條中線的交點，記作 $G$。它是三角形的物理重心，將每條中線分為 $2:1$ 的比例（頂點到重心：重心到對邊中點）。
$$ AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1 $$
若三角形頂點坐標為 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$，則重心坐標為 $G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$。
4 垂心 (Orthocentre)
定義與性質
垂心是三角形三條高線的交點，記作 $H$。高線是從頂點向對邊所作的垂線。在銳角三角形中，垂心位於三角形內部；在鈍角三角形中，垂心位於外部。
$$ AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF $$
垂心與外心、重心共線於歐拉線。對於直角三角形，垂心就是直角頂點。