U5 估算與誤差 必考公式

本課題探討如何處理測量中的不確定性，包括絕對誤差、相對誤差、百分誤差及其在運算中的傳播。理解這些概念對於準確表達測量結果的可靠程度至關重要。

1 基本誤差概念

最大絕對誤差

若一個量 $x$ 的準確值為 $x_0$，而測量值或近似值為 $x$，則絕對誤差為 $|x - x_0|$。通常，我們知道測量值的最大可能誤差（即容許誤差），記為 $\Delta x$。若 $x$ 的量度單位為 $u$，則最大絕對誤差通常為 $\frac{1}{2} u$。

$$ \text{最大絕對誤差} = \Delta x $$

量 $x$ 的實際值範圍為：$x - \Delta x \le x_0 \le x + \Delta x$。

相對誤差與百分誤差

相對誤差是絕對誤差與測量值（或實際值）的比值，常用於比較不同大小測量的準確度。百分誤差則是相對誤差乘以 $100\%$。

$$ \text{相對誤差} = \frac{\Delta x}{|x|} \quad \text{或} \quad \frac{\Delta x}{|x_0|} $$
$$ \text{百分誤差} = \frac{\Delta x}{|x|} \times 100\% $$

2 誤差的傳播

加減運算

當兩個帶有誤差的量 $A \pm \Delta A$ 和 $B \pm \Delta B$ 進行加減運算時，結果的絕對誤差為各自絕對誤差之和。

$$ \text{若 } S = A + B \text{ 或 } D = A - B, \quad \text{則 } \Delta S = \Delta D = \Delta A + \Delta B $$

乘除運算

當兩個帶有誤差的量進行乘除運算時，結果的相對誤差（近似）為各自相對誤差之和。

$$ \text{若 } P = A \times B \text{ 或 } Q = \frac{A}{B} \ (B \neq 0), \quad \text{則 } \frac{\Delta P}{P} \approx \frac{\Delta Q}{Q} \approx \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} $$

注意：此為近似公式，在 DSE 考試中通常直接應用。

冪運算

若一個帶誤差的量 $x \pm \Delta x$ 進行冪運算 $x^n$，其結果的相對誤差約為原相對誤差的 $|n|$ 倍。

$$ \text{若 } y = x^n, \quad \text{則 } \frac{\Delta y}{|y|} \approx |n| \cdot \frac{\Delta x}{|x|} $$

3 估算策略與有效數字

上捨入與下捨入

估算時，為了確保結果一定大於或小於真實值，會使用上捨入（進位）或下捨入（捨去）。例如，計算所需物料時應上捨入，而計算可容納人數時應下捨入。

若 $a$ 和 $b$ 分別是 $A$ 和 $B$ 的下限，則 $A+B$ 的下限為 $a+b$。若 $a$ 和 $b$ 分別是 $A$ 和 $B$ 的上限，則 $A \times B$ 的上限為 $a \times b$。

有效數字與誤差

一個數的有效數字由其第一個非零數字開始計算。測量值的最後一位數字通常是不確定的。例如，$12.40 \text{ m}$（4個有效數字）表示最大絕對誤差為 $0.005 \text{ m}$。

$$ \text{若測量值為 } 12.40, \quad \Delta x = 0.005 $$

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