U9 對稱及變換 必考公式
本課題探討平面圖形的對稱性質（包括反射對稱及旋轉對稱）以及四種基本幾何變換：反射、旋轉、平移及放大。理解變換前後圖形的坐標關係是解題關鍵。
1 反射變換 (Reflection)
關於直線的反射
一點 $P(x, y)$ 關於直線 $L$ 作反射後，其像 $P'(x', y')$ 的坐標公式取決於 $L$ 的方程。
$$ P(x, y) \xrightarrow{\text{反射於 } L} P'(x', y') $$
常見反射軸公式：
- 反射於 $x$ 軸：$P'(x, -y)$
- 反射於 $y$ 軸：$P'(-x, y)$
- 反射於直線 $y = x$：$P'(y, x)$
- 反射於直線 $y = -x$：$P'(-y, -x)$
- 反射於垂直線 $x = h$：$P'(2h - x, y)$
- 反射於水平線 $y = k$：$P'(x, 2k - y)$
2 旋轉變換 (Rotation)
關於點的旋轉
一點 $P(x, y)$ 繞旋轉中心 $R(h, k)$ 逆時針旋轉 $\theta$ 角後，其像 $P'(x', y')$ 的坐標公式。
$$ \begin{pmatrix} x' - h \\ y' - k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - h \\ y - k \end{pmatrix} $$
特別地，若繞原點 $(0,0)$ 旋轉，公式簡化為：
$$ x' = x\cos\theta - y\sin\theta, \quad y' = x\sin\theta + y\cos\theta $$
常見旋轉角度：
- 逆時針旋轉 $90^\circ$（或 $\frac{\pi}{2}$）：$P'(-y, x)$
- 逆時針旋轉 $180^\circ$（或 $\pi$）：$P'(-x, -y)$
- 逆時針旋轉 $270^\circ$（或 $\frac{3\pi}{2}$）：$P'(y, -x)$
- 順時針旋轉 $90^\circ$ 等價於逆時針旋轉 $270^\circ$。
3 平移變換 (Translation)
沿向量的平移
一點 $P(x, y)$ 沿平移向量 $\vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ 平移後，其像 $P'(x', y')$ 的坐標公式非常直接。
$$ P'(x', y') = (x + a, \ y + b) $$
或用向量表示：
$$ \overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + \vec{v} $$
平移不改變圖形的形狀、大小和方向。
4 放大變換 (Enlargement)
以點為中心的放大
一點 $P(x, y)$ 以放大中心 $C(h, k)$ 及比例因子 $k$（$k eq 0$）作放大後，其像 $P'(x', y')$ 的坐標公式。
$$ \overrightarrow{CP'} = k \cdot \overrightarrow{CP} $$
坐標公式為：
$$ x' = h + k(x - h), \quad y' = k + k(y - k) $$
比例因子 $k$ 的性質：
- 若 $|k| > 1$，圖形放大；若 $0 < |k| < 1$，圖形縮小。
- 若 $k > 0$，像與原圖在中心同側；若 $k < 0$，像與原圖在中心異側。
- 面積變化：新面積 $ = k^2 \times $ 原面積。
5 對稱性質 (Symmetry)
反射對稱與旋轉對稱
反射對稱軸（對稱軸）是一條直線，圖形關於該直線反射後與原圖完全重合。旋轉對稱是指圖形繞某一中心旋轉 $360^\circ / n$（$n$ 為整數，$n \ge 2$）後與原圖重合，該圖形便具有 $n$ 重旋轉對稱性。
常見圖形的對稱性：
- 正方形：4 條對稱軸，4 重旋轉對稱。
- 矩形：2 條對稱軸，2 重旋轉對稱。
- 圓形：無限多條對稱軸（任何直徑），無限多重旋轉對稱。
- 等邊三角形：3 條對稱軸，3 重旋轉對稱。
- 等腰三角形：1 條對稱軸，沒有旋轉對稱性（1 重除外）。