U42 三角學的應用 (3D) 必考公式
本課題將二維三角學擴展至三維空間，主要處理立體圖形中的角度、長度、面積及體積問題。解題關鍵在於識別及構造合適的直角三角形，並運用畢氏定理、三角比（$\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$）及正弦/餘弦公式。
1 基本概念與術語
空間中的線與角
在三維空間中，我們經常需要考慮直線與平面之間的關係。兩條直線的夾角，是指它們在空間中的交角。直線與平面的夾角 $\theta$，是指該直線與其在該平面上的投影所成的銳角，其中 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$。兩個平面的交角，是指它們之間二面角的平面角。
2 核心解題技巧與公式
畢氏定理在三維的應用
在長方體或立方體中，空間對角線的長度可以透過連續應用畢氏定理求得。對於一個長、闊、高分別為 $l$、$w$、$h$ 的長方體，其空間對角線長度 $d$ 的公式為：
解題時，經常需要先找出一個直角三角形，利用已知兩邊求第三邊，然後將此結果作為下一個直角三角形的邊，再次應用畢氏定理。
三角比求角度與長度
在構造出的直角三角形中，若已知兩邊，可透過 $\tan \theta = \frac{對邊}{鄰邊}$、$\sin \theta = \frac{對邊}{斜邊}$ 或 $\cos \theta = \frac{鄰邊}{斜邊}$ 求未知角 $\theta$。若已知一角及一邊，則可求其他邊長。
正弦與餘弦公式的應用
對於非直角三角形的面（例如斜面三角形），在已知足夠邊長和角度後，可使用正弦公式或餘弦公式來求解。
正弦公式：
餘弦公式：
其中 $a$、$b$、$c$ 為三角形邊長，$A$、$B$、$C$ 為其對角。
3 常見立體圖形解題策略
角柱與圓柱
重點在於識別底面（通常是直角三角形或任意三角形）以及高。求斜棱長或對角線長時，高會與底面的某條邊構成直角三角形。
角錐與圓錐
關鍵是頂點在底面的投影（垂足）。斜高（slant height）是錐體側面的高，它與錐體的高及底面半徑（或邊長的一半）構成直角三角形。
對於正圓錐，斜高 $l$、高 $h$ 和底面半徑 $r$ 滿足：
4 解題步驟總結
四步解題法
- 繪圖與標註：根據題意畫出立體圖的簡圖，並標註所有已知的長度、角度及要求的未知量。
- 構造三角形：識別或添加輔助線，構造出包含已知量和未知量的直角三角形（優先）或任意三角形。
- 選擇公式：根據構造出的三角形類型（直角或非直角）及已知條件，選擇合適的公式（畢氏定理、三角比、正弦/餘弦公式）。
- 逐步計算：有條理地進行計算，可能需要連續應用多次公式才能得出最終答案。注意答案的單位和有效數字要求。
切記：在三維問題中，耐心地將問題分解為多個二維三角形是成功的關鍵。